翻译版（第三章）终极集合论宇宙（V=UltimateL） (6-1)

终极集合论宇宙(V= Ultimate L):

MOSTOWSKI崩溃与内部模型程序

W.Hugh Woodin

Usiversity Caltosia Berkuey

2013年10月11日

MOSTOWSKI 坍塌

定理

设M是传递集，且X ≺ M，则存在唯一的传递集N和同构

π：N ≅ X。

MOSTOWSKI崩溃的一般化普遍存在于

集合论

集合的宇宙

发电机组

假设X是一个集合.X的幂集是

P(X)=(Y | Υ 是X的子集).

集合的累积层次结构

集合的宇宙V是通过定义Vα生成的，通过对序数 α 的归纳：

1.V₀=∅.

2.Vα₊₁=P(Vα)。

3.如果 α 是一个或多个Vα = ∪ᵦ＜α Vᵦ的极限

⇨ 对于一些序数α，每个集合都属于Vα。

参数的逻辑可定义性

设 X 是传递集。子集Y ⊆ X在逻辑上可根据参数在(X，∈)中定义，如果对于某些公式

φ[x₀，. . .，x₀]和某些参数a₁，. . .，a₀∈ X.

Υ=(a ∈ X | (X ，∈)=╞ φ[a，a₁……a₀]}

可定义功率集

对于每个集合 X ，Рᴅel(X)表示所有Y ⊆ X的集合，使得X在结构(X，∈)中可从X中的参数逻辑定义。

⇨(选择公理)Рᴅel(X)=P(X)当且仅当X是有限的。

⇨Рᴅel（Vᴊ+1）∩Р（R）正好是射影集。

有效累积层次：L

哥德尔的可构造的宇宙。

通过对Lα的归纳法对α进行定义，如下所示。

1.L₀=∅.

2.(后继情况) Lα+1=Рᴅel（Lα）.

3.(极限情况)Lα=∪{Lᵦ丨β＜α）.

L是所有集X的类，使得X∈Lα，对于某些序数α。

定理(哥德尔)

设Χ ≺ Lα。则存在唯一的序数和 β 同构

π：Lᵦ ≅ Χ.

定理(Scott)

Assame V=L，设M是传递集，且

X ≺ M

是基本子结构，使得 Χ ≅ Vα。

则Vα=X.

Arioms，它断言X ≺ M的存在，其中M是传递的

X ≅ Vα

和X ≠ Vα产生了现代层次的大基数公理。

⇨这些轴子表示V≠L.

无穷大的Stiorg公理：Lairge 公理的大基数公理lbate

基数 κ 是大基数，如果存在初等嵌入。

j：V→M

使得M是传递类，而 κ 是最小序数使得j(α) ≠ α。

⇨要求 M 接近 V 会产生一系列大的基数目标：

⇨最简单的情况是 κ 是可度量的候选数。

⇨ M=V与选择公理相矛盾。

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