外宇宙篇章（数学论文）

我们可以很容易想象诸如 Ord+1 这样似集合的对象，如果这些对象也能像集合那些形成大全，记为 V∗ ，那么它的封闭性至少应当不下于 V ，即至少存在初等嵌入 f：V→V∗ 。

考虑到 ∈ 是 Ord 上的良序关系，但不是 Ord+1 上的。

定义“ x 是集合”当且仅当 ∃y(x∈0y)，否则称作真类或真 0 型类，并且“ x 是真 α 型类”当且仅当 ¬∃y(x∈αy) ，此外记由 α 型类构成的大全为 VOrd[α] ，出于同样的期待可以认为对任意 α＜β 均存在初等嵌入

f：VOrd[α]→VOrd[β] ，它们完全可以有个共同的扩张，即终极大全 V={x：x=x} 。

若对任意 α 均存在初等嵌入

f：VOrd[α]→V ，那么自然会对任意 α＜β

均存在初等嵌入 f：VOrd[α]→VOrd[β] 。

而在这种情况下，别说是在任意VOrd[α] 中，即使是在 V 中 Ord 也依旧是具有特殊性的序数，比如它是一阶不可定义的。

这时我们就可以尝试定义：称 α 是划分序数，当且仅当存在初等嵌入 f：Vα→V，而 Ord 就是最初的划分序数，划分大全的序数。

不过，当我们已经承诺像 VOrd[α] 这样的外宇宙存在时，就可以不只是考虑存在初等嵌入 f：V→VOrd[α] ，比如存在初等嵌入

f：VOrd+1→VOrd[α]+1 。

若仅仅只是存在 f：V→VOrd[α] ，那么由于 V 满足“存在 κ 是超级莱因哈特基数”，就可知存在初等嵌入 f：Vκ→V。

但哪怕 V 满足已知的所有大基数公理，都无法得到存在初等嵌入

f：Vκ+1→VOrd+1 。

甚至于，我们可以假设对任意 α，λ∈V，均存在初等嵌入

f：VOrd+λ→VOrd[α]+λ ，这就意味着 V和 V∗ 是极度相似的——不论是从任意超越的层次来看，外宇宙的超越性将同样反馈到集宇宙上使之比我们预期的还要超越。

其最终，我们可以尝试定义：称 κ 是划分序数，当且仅当对任意划分序数 κ＜λ，均存在非平凡初等嵌入 j：V→V 并且cr(j)=κ∧j(κ)=λ 。

由于 V 已经是终极大全了，我们很难说再有 f：VOrd+1→P(V) ，但不妨碍我们令 VOrd[α] 具有 V 的特征从而共享。

比如对任意划分序数 κ 均存在划分序数κ＜λ 使得对任意划分序数 α＜β＜λ 均存在非平凡初等嵌入 j：Vλ→Vλ 并且

cr(j)=α∧j(α)=β 。

不妨称这样的序数为分割序数，借由它来考察 V 。

若 κ 是分割序数，则对任意 α＜κ 和任意S⊂Vκ+α ，若 |S|＜κ ，则存在划分序数λ 和 S∗⊂Vλ+α 以及初等嵌入

f：Vλ+α→Vκ+α 使得 f 限制在 S∗ 上是双射。

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