V -logic多元宇宙（第二版本）篇章 (6-2)

设Lκ，λ是无限语言(λ ＜ κ)，允许形成：

1.长度＜κ的合取和析取

2.＜λ个变量的量化

无限逻辑比一阶逻辑有更强的表达能力。使用这样的逻辑之一将确保满足约束1：“V的宽度延伸”的表示将排除“不想要的”解释。

v逻辑是无限逻辑Lκ+，ω，即一阶逻辑，增加了：

1.＜κ+个变量和常数(每个a ∈ V一个)，其中κ是任意基数＞ω

2.＜ω量词

3. 一个特殊的常数V，表示地面宇宙

4.一个特殊的常数W，表示地面宇宙的一般外部模型

5.长度小于κ+的无限合取和析取

我们知道证明可以用集合来编码。在V-逻辑中，证明是由Hyp(V)中的集合编码的，这是V之后最不允许的集合。

M上的容许集是KPU的模型AM，其形式为

AM =(M；一，∈，...).M上的纯容许集是容许集，M没有u元素(A集合A s.t. KP|= A)。

M上的最小容许集(记为HypM)是M上所有容许集的交集(并且等价于可构造论域的第α级Lα，其中α是M上最小容许序数)。

因此，在V-逻辑中，Hyp(V)(以下简称V+)只是一些Lα(V)。

V -logic中的证明代码在V +中。

现在，假设我们想要断言存在一个‘宇宙’W，一个V的宽度延伸。

我们从句法上进行：这样一个世界的存在等价于以下一致性陈述的证明：

Con(T + ϕ)

其中t是我们的基础理论(BST)，ϕ= w的w性质。

|= ψ”，而ψ是一些对于每一个扩张v并定义性质ψ的世界w，我们在V +中有一个ϕ = Con(T + ψ)的证明码。

属性ψ可以这样选择，以便表达所讨论的模型的某些相关特征。

(例如，对于W是基论域的集泛扩张，我们可以将W刻画为‘包含V上的P-泛滤子G并满足ψ’)。

对于每一个扩张v并定义性质ψ的世界w，我们在V +中有一个ϕ = Con(T + ψ)的证明码。

特别是，我们可能有：

集合-类属扩展(' W是s.t. W包含一个P-类属G超过V并满足ψ’)

1.类通用扩展(如上，有一些修改)

2.超类-泛型扩展(同上)

3.V的各种强制扩张

4.1中定义的所有模型的内部模型。-4

通过使用上述编码，我们可以产生所有“相关”种类的宇宙，也就是说，V的所有“相关”宽度扩展。

因此，约束2也将被满足：所有“相关”种类的模型都将属于(宽度)多元宇宙。

在v-逻辑中，我们有：如果BST + ϕ(其中BST是我们的基础理论)是一致的，那么存在v的外部模型w，使得W |= ψ。

非正式地说，多元宇宙可以被视为一棵树：在树根处，我们选择了BST，在每个节点处，一个

Con(BST + ϕ)陈述，其中ϕ断言ψ是一些集合论真理的进一步片段

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